專注于：

1）材料中二氧化碳的退火方法：原子vs分子

2）二氧化碳在材料中的擴散

3）菲克定律

4）借助導數和積分

(1)陳的故事：材料中的二氧化碳退火方法

在致密金屬中，晶格間隙大于氫分子的直徑。 只有當氫分子解離成氫原子時，它們才能進入金屬并在金屬中原子擴散。 如果晶體存在缺陷，其數量級也是千分之幾。 即只有少量氫原子在缺陷處聚合成氫分子，大部分仍以原子形式存在。

氫在微孔材料或陶瓷材料中的擴散方式與在致密金屬中的擴散方式不同，擴散多項式與壓力之間的指數關系會發生變化。

%E8%8F%B2%E5%85%8B%E5%AE%9A%E5%BE%8B/?fr=

(2)菲克定律和物理化學方法

菲克定律包括兩個要素：

（1）早在1855年，菲克就提出，單位時間內通過垂直于擴散方向的單位橫截面積的擴散物質的通量（稱為擴散通量flux，記為J）與含量梯度有關截面處的擴散通量( )成反比，即含量梯度越大，擴散通量越大。 這就是菲克第一定理。

(2)菲克第二定理是在第一定理的基礎上推導出來的。 菲克第二定理強調，在非穩態擴散過程中，在距離x處，含量隨時間的變化率等于該處擴散通量隨距離變化率的負值。

單位時間內，擴散物質通過垂直于擴散方向的單位橫截面積的通量（稱為擴散通量，用J表示）與橫截面處的含量梯度（ ）成反比，即含量梯度越大，擴散通量越大。 物理表達式如下：

式中，D稱為擴散系數（m2/s），C為擴散物質（成分）的體積含量（原子數/m3或kg/m3），?C/?x為含量梯度，符號“-”表示擴散方向與含量梯度相反的方向，即擴散成分從高含量區域向低含量區域擴散。 擴散通量J的單位為kg/(m2·s)

對于三維擴散系統，作為矢量的擴散通量J可以在x、y、z坐標軸方向上分解為三個分量Jx、Jy、Jz。 此時，擴散通量可寫為：

或者

其中，i、j、k表示x、y、z方向的單位向量。 J是擴散通量，是三維向量場，D是擴散系數，是二階張量菲克第一定律公式，C是內容，是數場，▽是梯度算子。

前兩個多項式是菲克第一定理的物理表達式，是描述擴散現象的基本多項式。 菲克第一定理強調，在任何內容梯度驅動的擴散系統中，物質都會沿著其內容場決定的負梯度方向擴散，擴散流的大小與內容梯度成反比。 值得注意的是，擴散方程是描述宏觀擴散現象的唯象關系式，不涉及擴散系統內部原子運動的微觀過程，而擴散系數反映了擴散系統的特性。 擴散多項式中的內容C是位置和時間的函數，擴散系數D理論上是一個富含九個分量的二階張量，與擴散系統的結構對稱性密切相關。 [2]

擴散介質中擴散物質的含量分布隨時間變化的擴散常稱為不穩定擴散，其擴散通量隨位置和時間的變化而變化。 對于不穩定擴散，可以根據物質的平衡關系構造擴散二階微分方程。

菲克第二定理是在第一定理的基礎上推導出來的。菲克第二定理強調，在非穩態擴散過程中，在距離x處，內容隨時間的變化率等于內容變化率的負值。擴散通量隨距離的變化，以及

這就是菲克第二定理的物理表達。如果擴散系數D隨坐標x變化不大，可以近似看作一個常數，那么公式可以寫為

上式中，C為擴散物質的體積含量（kg/m^3），t為擴散時間（s），x為距離（m）。 事實上，退火體中溶質原子的擴散系數D隨含量的不同而變化。 為了更容易求解擴散多項式，通常將D近似視為常數。

對于各向同性三維擴散系統，Fick 的第二擴散多項式可以寫為：

對于球對稱擴散，上式可以轉化為極坐標表達式：

菲克第二擴散多項式描述了在不穩定擴散的情況下，介質中各點由于擴散而引起的物質含量的變化。 根據各種具體的初始條件和邊界條件，求解菲克第二擴散多項式，即可得到相應體系的物質含量隨時間和位置變化的規律。 [2]

菲克定律中的穩態擴散和非穩態擴散

穩態擴散

菲克第一定理只適用于J和C不隨時間變化的場合——穩態擴散（-state）。 所謂穩定擴散是指擴散過程中擴散物質的含量分布不隨時間變化的擴散過程。 這類問題可以直接用菲克第一定理解決。 對于穩態擴散，也可以描述為：在擴散過程中，擴散成分的含量C僅隨距離x變化，而不隨時間t變化。 每時刻有多少個原子從后面擴散，向右擴散了多少個原子，沒有盈虧，所以內容不隨時間變化。

事實上菲克第一定律公式，大多數擴散過程是在非穩態條件下發生的。

非穩態擴散是指擴散過程中擴散物質的含量分布隨時間變化的擴散過程。 典型不穩定擴散中的典型邊界條件可分為兩種情況：第一種情況是擴散過程中晶體表面擴散粒子的含量C0保持恒定； 第二種情況是一定量的擴散材料Q向內擴散。

非穩態擴散（-態）的特點是擴散過程中J隨時間和距離的變化而變化。 經過各處的擴散通量J隨距離x而變化，而穩態擴散的擴散通量處處相等，不隨時間變化。 對于非穩態擴散，需要應用菲克第二定理。 [2]

(3)微積分的補充知識：

導數基本公式

1/x 的行列式是 -1/x^2。

(u/v)'=(u'*vu*v')/(v^bai2) 可用，

(1/x)'=(1'*x-1*x')/x^2=-1/x^2

x 的 n 次方行列式

函數積 (f(x)*g(x)) 導數

積分常數

現有的雙面表達式：

這意味著“找到 x

關于x的積分”。積分是行列式的逆運算，所以可以換個思路：“關于x，導數得到

"的函數是什么，得到的函數就是上面表達式的積分，即：函數

導數的結果是

向上。 但顯然這不是正確的答案。 由于常數項在導數之后將被消除，因此，

的積分（主函數）有無限多個表示形式 (

+2,

+11 等）。 因此，此時應該這樣處理：

使用字母C表示所有可以用作常數項的數字。

原始

對 f(x) 進行不定積分得到的函數稱為原函數。原函數可寫為

，也可以用小寫的f表示：F(x)。

圖的導數

在前面的反例中，為什么“2”部分原函數的行列式圖像看起來像“4”？ 這是因為此時“2”部分對應的函數的斜率（行列式）為負值。 根據曲線的變化，不難看出斜率先減小后減小，因此對應的行列式圖像為“4”。 看。

如果行列式代表變化的情況，那么積分就代表變化的集合。

與區間范圍積分

定積分是一個區間上的積分：

定積分的積分數上下都有字母，表示“從哪里到哪里的范圍”，“從哪里”在下面，“到哪里”在上面，所以

范圍是從a到b。

到了該努力工作的年紀，找份穩定的工作，然后你就會發現，自己窮也安定了。

貧窮限制了我們的想象力，而我們的想象力不能被貧窮阻止。 現在就開始努力吧，也許你就能拼出大器晚成。

%E5%AF%BC%E6%95%B0

這里列出了 14 個基本初等函數的導數。

函數 原函數 導函數

常數函數

（即常數）

（C為常數）

指數函數

電源功能

對數函數

余弦函數

正弦函數

余弦函數

余切函數

割函數

余割函數

反余弦函數

反正弦函數

簡而言之，正切函數

反余切函數

雙曲函數

復雜函數

1、導數的四種算術運算：

高階行列式算法

……………….①

………………②

………………③

2、原函數的行列式與反函數的關系（從三角函數的行列式推導出反三角函數）：

y=f(x) 的反函數為 x=g(y)，則 y'=1/x'。

3、復合函數的推導：

復合函數對自變量的行列式等于已知函數對中間變量的行列式除以中間變量對自變量的行列式（稱為鏈式法則）。

4、變極限積分的求導規則：

（a(x)、b(x) 是子函數）

行列式的估計

估計已知函數的導數可以根據行列式的定義，利用變化率的極限來估計。 在實際估計中，大多數常見的解析函數都可以看作是一些簡單函數的和、差、積、商或復合結果。 只要知道這個簡單函數的導函數，就可以根據行列式的導數規則來估計更復雜函數的導函數。

行列式的導數定律

由基本函數的和、差、積、商或互復合組成的函數的導函數，可以通過函數的導數規則推導出來。 基本衍生規則如下：

1、求導的線性性：函數線性組合的導數等于先對它們各自求偏導數，然后再取線性組合（即公式①）。

2、兩個函數乘積的導函數：一導數乘二+一乘二導數（即公式②）。

3、兩個函數商的導數函數也是一個多項式：（子導數乘以母-子導數乘以母導數）乘以母平方（即公式③）。

4. 如果存在復合函數，則使用鏈式法則導數。

高階導數

如何找到高階行列式

1、直接法：從高階行列式的定義中逐步求出高階行列式。

通常用于尋找解決問題的能力。

2、高階行列式算法：

（牛頓-萊布尼茲公式）

3、間接法：借助已知的高階行列式公式，通過四次算術運算、變量代換等。

注意：代入后，函數應該很容易求出，盡量接近已知公式來求階行列式。

公式

為了方便記憶，有人整理了如下公式：

上一篇： VASP 錯誤: :error(78):()

下一篇： 菲克定律：材料中二氧化碳分子的退火和隨后的擴散